第2講 速算與巧算（二）

　　上一講我們介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方法，這一講討論乘法的“同補(bǔ)”與“補(bǔ)同”速算法。

　　兩個數(shù)之和等于10，則稱這兩個數(shù)互補(bǔ)。在整數(shù)乘法運(yùn)算中，常會遇到像72×78，26×86等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補(bǔ)，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個位數(shù)字相同或互補(bǔ)的情況。72×78的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個位數(shù)字互補(bǔ)，這類式子我們稱為“頭相同、尾互補(bǔ)”型；26×86的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補(bǔ)、個位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補(bǔ)、尾相同”型。計(jì)算這兩類題目，有非常簡捷的速算方法，分別稱為“同補(bǔ)”速算法和“補(bǔ)同”速算法。

例1 （1）76×74＝？ （2）31×39＝？

　　分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補(bǔ)”類型。

　　（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到

　　76×74

　　＝（7＋6）×（70+4）

　　＝（70＋6）×70＋（7＋6）×4

　　＝70×70＋6×70＋70×4＋6×4

　　＝70×（70＋6＋4）＋6×4

　　＝70×（70＋10）＋6×4

　　＝7×（7+1）×100＋6×4。

　　于是，我們得到下面的速算式：

　　（2）與（1）類似可得到下面的速算式：

　　由例1看出，在“頭相同、尾互補(bǔ)”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補(bǔ)0，如1×9＝09），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)與十位數(shù)加1的乘積。“同補(bǔ)”速算法簡單地說就是：

積的末兩位是“尾×尾”，前面是“頭×（頭+1）”。

　　我們在三年級時學(xué)到的15×15，25×25，…，95×95的速算，實(shí)際上就是“同補(bǔ)”速算法。

例2 （1）78×38＝？ （2）43×63＝？

分析與解：本例兩題都是“頭互補(bǔ)、尾相同”類型。

　　（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到

　　78×38

　　＝（70＋8）×（30＋8）

　　＝（70＋8）×30＋（70＋8）×8

　　＝70×30+8×30＋70×8＋8×8

　　＝70×30＋8×（30＋70）＋8×8

　　＝7×3×100＋8×100＋8×8

　　＝（7×3＋8）×100＋8×8。

　　于是，我們得到下面的速算式：

　　（2）與（1）類似可得到下面的速算式：

　　由例2看出，在“頭互補(bǔ)、尾相同”的兩個兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個因數(shù)的個位數(shù)之積（不夠兩位時前面補(bǔ)0，如3×3＝09），積中從百位起前面的數(shù)是兩個因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個位數(shù)。“補(bǔ)同”速算法簡單地說就是：

積的末兩位數(shù)是“尾×尾”，前面是“頭×頭+尾”。

　　例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補(bǔ)”或“補(bǔ)同”形式的速算法。當(dāng)被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時，情況會發(fā)生什么變化呢？

　　我們先將互補(bǔ)的概念推廣一下。當(dāng)兩個數(shù)的和是10，100，1000，…時，這兩個數(shù)互為補(bǔ)數(shù)，簡稱互補(bǔ)。如43與57互補(bǔ)，99與1互補(bǔ)，555與445互補(bǔ)。

　　在一個乘法算式中，當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位數(shù)互補(bǔ)時，這個算式就是“同補(bǔ)”型，即“頭相同，尾互補(bǔ)”型。例如 ， 因?yàn)楸怀藬?shù)與乘數(shù)的前兩位數(shù)相同，都是70，后兩位數(shù)互補(bǔ)，77＋23＝100，所以是“同補(bǔ)”型。又如 ，

　　等都是“同補(bǔ)”型。

　　當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補(bǔ)，后面的幾位數(shù)相同時，這個乘法算式就是“補(bǔ)同”型，即“頭互補(bǔ)，尾相同”型。例如，

　　 等都是“補(bǔ)同”型。

　　在計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時，例1的方法仍然適用。

例3 （1）702×708=？ （2）1708×1792＝？

解：（1）

　　（2）　

　　計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時，將“頭×（頭+1）”作為乘積的前幾位，將兩個互補(bǔ)數(shù)之積作為乘積的后幾位。

　　注意：互補(bǔ)數(shù)如果是n位數(shù)，則應(yīng)占乘積的后2n位，不足的位補(bǔ)“0”。

　　在計(jì)算多位數(shù)的“補(bǔ)同”型乘法時，如果“補(bǔ)”與“同”，即“頭”與“尾”的位數(shù)相同，那么例2的方法仍然適用（見例4）；如果“補(bǔ)”與“同”的位數(shù)不相同，那么例2的方法不再適用，因?yàn)闆]有簡捷實(shí)用的方法，所以就不再討論了。

例4 2865×7265＝？

解：