加法原理（二）
我們通常解題，總是要先列出算式，然后求解。可是對(duì)有些題目來(lái)說(shuō)，這樣做不僅麻煩，而且有時(shí)根本就列不出算式。這一講我們介紹利用加法原理在“圖上作業(yè)”的解題方法。
例1小明要登上10級(jí)臺(tái)階，他每一步只能登1級(jí)或2級(jí)臺(tái)階，他登上10級(jí)臺(tái)階共有多少種不同的登法？
分析與解：登上第1級(jí)臺(tái)階只有1種登法。登上第2級(jí)臺(tái)階可由第1級(jí)臺(tái)階上去，或者從平地跨2級(jí)上去，故有2種登法。登上第3級(jí)臺(tái)階可從第1級(jí)臺(tái)階跨2級(jí)上去，或者從第2級(jí)臺(tái)階上去，所以登上第3級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)是登上第1級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)與登上第2級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)之和，共有1+2＝3（種）……一般地，登上第n級(jí)臺(tái)階，或者從第（n—1）級(jí)臺(tái)階跨一級(jí)上去，或者從第（n—2）級(jí)臺(tái)階跨兩級(jí)上去。根據(jù)加法原理，如果登上第（n—1）級(jí)和第（n—2）級(jí)分別有a種和b種方法，則登上第n級(jí)有（a＋b）種方法。因此只要知道登上第1級(jí)和第2級(jí)臺(tái)階各有幾種方法，就可以依次推算出登上以后各級(jí)的方法數(shù)。由登上第1級(jí)有1種方法，登上第2級(jí)有2種方法，可得出下面一串?dāng)?shù)：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。
其中從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)之和。登上第10級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)對(duì)應(yīng)這串?dāng)?shù)的第10個(gè)，即89。也可以在圖上直接寫出計(jì)算得出的登上各級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)（見(jiàn)下圖）。
例2在左下圖中，從A點(diǎn)沿實(shí)線走最短路徑到B點(diǎn)，共有多少條不同路線？
分析與解：題目要求從左下向右上走，所以走到任一點(diǎn)，例如右上圖中的D點(diǎn)，不是經(jīng)過(guò)左邊的E點(diǎn)，就是經(jīng)過(guò)下邊的F點(diǎn)。如果到E點(diǎn)有a種走法（此處a＝6），到F點(diǎn)有b種走法（此處b＝4），根據(jù)加法原理，到D點(diǎn)就有（a＋b）種走法（此處為6＋4=10）。我們可以從左下角A點(diǎn)開(kāi)始，按加法原理，依次向上、向右填上到各點(diǎn)的走法數(shù)（見(jiàn)右上圖），最后得到共有35條不同路線。
例3左下圖是某街區(qū)的道路圖。從A點(diǎn)沿最短路線到B點(diǎn)，其中經(jīng)過(guò)C點(diǎn)和D點(diǎn)的不同路線共有多少條？
分析與解：本題可以同例2一樣從A標(biāo)到B，也可以將從A到B分為三段，先是從A到C，再?gòu)腃到D，最后從D到B。如右上圖所示，從A到C有3種走法，從C到D有4種走法，從D到B有6種走法。因?yàn)閺腁到B是分幾步走的，所以應(yīng)該用乘法原理，不同的路線共有
3×4×6＝72（條）。
例4沿左下圖中箭頭所指的方向從A到B共有多少種不同的走法？
分析與解：如右上圖所示，先標(biāo)出到C點(diǎn)的走法數(shù)，再標(biāo)出到D點(diǎn)和E點(diǎn)的走法數(shù)，然后標(biāo)出到F點(diǎn)的走法數(shù)，最后標(biāo)出到B點(diǎn)的走法數(shù)。共有8種不同的走法。
例5有15根火柴，如果規(guī)定每次取2根或3根，那么取完這堆火柴共有多少種不同取法？
分析與解：為了便于理解，可以將本題轉(zhuǎn)變?yōu)椤吧?5級(jí)臺(tái)階，每次上2級(jí)或3級(jí)，共有多少種上法？”所以本題的解題方法與例1類似（見(jiàn)下表）。
注意，因?yàn)槊看稳?或3根，所以取1根的方法數(shù)是0，取2根和取3根的方法數(shù)都是1。取4根的方法數(shù)是取1根與取2根的方法數(shù)之和，即0＋1＝1。依此類推，取n根火柴的方法數(shù)是取（n-3）根與取（n-2）根的方法數(shù)之和。所以，這串?dāng)?shù)（取法數(shù)）中，從第4個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是它前面第3個(gè)數(shù)與前面第2個(gè)數(shù)之和。取完15根火柴共有28種不同取法。
