一、圓心角定理
課本利用圓的旋轉不變性給出圓心角定理的證明，不少同學難以理解，因而不能放心大膽地運用該定理解決有關問題。下面給出易為同學們接受的其他證法。
已知：如圖，圓心角∠AOB=∠A′O′B′,OM和O′M′是弦心距.
求證:(1)AB=A'B'.(2)OM=O'M'.
對于（1）和（2），同學們容易想到借助于全等三角形的對應邊、對應高的相等來證明，這里僅證明（3）
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證明: 連結AB′、A′B,作∠AOB′的平分線交⊙O于C. 則 ∠AOC=∠B′OC,∠AOB=∠A′OB. ∴ ∠BOC=∠A′OC.而OB=OA′. ∴ OC⊥A′B. 同理 OC⊥AB′. ∴ A′B∥AB′.
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二、弦切角定理 下面給出弦切角定理的不同于課本的一種證法，這有助于同學們開闊思路，有助于同學們復習有關的知識。已知：如圖，AB切⊙O于A.求證：∠BAC=∠APC.
∴ ∠APC=∠AOF. 過F作FM∥AC,交AB于M,那么∠BAC=∠BMF,EF⊥FM,又OA⊥AB. ∴ 四邊形AOFM內接于圓. ∴ ∠BMF=∠AOF. ∴ ∠BAC=∠APC. 三、相切兩圓的性質定理 已知: 如圖,⊙O1和⊙O2相切于T. 求證: 連心線O1O2經過切點T.
證明: 假設連心線O1O2不經過切點T,那么O1、O22和T構成ΔO1O2T. ∴ 丨O1T－O2T丨<O1O2<O1O2<O1T+O2T ∴ ⊙O1與⊙O2相交,這與題設矛盾. ∴ 連心線O1O2經過切點T.
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